2. Общий вид уравнения прямой
Прямая линия является простейшей и наиболее употребительной из кривых.
Любая прямая имеет уравнение вида:
(*)
где а, b, с – постоянные. И обратно, если а и b не равны нулю одновременно, то существует прямая, для которой (*) будет ее уравнением.
Пусть ,
– какие-нибудь две различные симметрично расположенные относительно данной прямой точки (рис. 7).
Тогда любая точка прямой равноудалена от точек
и
. И обратно, любая точка
, равноудаленная от
и
, принадлежит прямой. Отсюда уравнение прямой:
.
Перенося все члены уравнения налево, раскрывая квадраты и производя очевидные упрощения, получим:
.
Первая часть утверждения доказана. Докажем вторую часть. Пусть и
– две различные точки плоскости ху, координаты которых удовлетворяют уравнению (*). Пусть:
– уравнение прямой . Система уравнений:
(**)
совместна, ей заведомо удовлетворяют координаты точки и координаты точки
.
Так как точки и
различны, то они отличаются по крайней мере одной координатой, например
. Умножая первое уравнение (**) на
, второе на
и вычитая почленно, получим:
.
Это уравнение, как следствие уравнений (**), удовлетворяется при и
. Но это возможно, только если
,
.
Отсюда следует:
.
А это значит, что уравнения (**) эквивалентны. Вторая часть утверждения доказана.
Created with the Personal Edition of HelpNDoc: Produce electronic books easily