# 2. Общий вид уравнения прямой

2. Общий вид уравнения прямой

Прямая линия является простейшей и наиболее употребительной из кривых.

## Теорема

Любая прямая имеет уравнение вида:

(*)

где а, b, с – постоянные. И обратно, если а и b не равны нулю одновременно, то существует прямая, для которой (*) будет ее уравнением.

## Доказательство

Пусть , – какие-нибудь две различные симметрично расположенные относительно данной прямой точки (рис. 7).

#

# Рис. 7

Тогда любая точка прямой равноудалена от точек и . И обратно, любая точка , равноудаленная от и , принадлежит прямой. Отсюда уравнение прямой:

.

Перенося все члены уравнения налево, раскрывая квадраты и производя очевидные упрощения, получим:

.

Первая часть утверждения доказана. Докажем вторую часть. Пусть и – две различные точки плоскости ху, координаты которых удовлетворяют уравнению (*). Пусть:

– уравнение прямой . Система уравнений:

(**)

совместна, ей заведомо удовлетворяют координаты точки и координаты точки .

Так как точки и различны, то они отличаются по крайней мере одной координатой, например . Умножая первое уравнение (**) на , второе на и вычитая почленно, получим:

.

Это уравнение, как следствие уравнений (**), удовлетворяется при и . Но это возможно, только если

, .

Отсюда следует:

.

А это значит, что уравнения (**) эквивалентны. Вторая часть утверждения доказана.

Created with the Personal Edition of HelpNDoc: Produce electronic books easily