Прямая линия является простейшей и наиболее употребительной из кривых.

Теорема

Любая прямая имеет уравнение вида:

   (1)

где а, b, с – постоянные. И обратно, если а и b не равны нулю одновременно, то существует прямая, для которой (1) будет ее уравнением.

Доказательство

Пусть A1 (a1; b1), A2 (a2; b2) – какие-нибудь две различные симметрично расположенные относительно данной прямой точки (рис. 7).


Рис. 7

Тогда любая точка А (х; у) прямой равноудалена от точек A1 и A2. И обратно, любая точка А, равноудаленная от A1 и A2, принадлежит прямой. Отсюда уравнение прямой:

.

Перенося   все   члены   уравнения налево, раскрывая квадраты и производя очевидные упрощения, получим:

.

Первая часть утверждения доказана. Докажем    вторую    часть.    Пусть B1 и B2 – две различные точки плоскости ху, координаты которых удовлетворяют уравнению (1). Пусть:

 

– уравнение прямой B1B2. Система уравнений:

   (2)

совместна, ей заведомо удовлетворяют координаты точки B1 и координаты точки B2.
Так как точки B1 и B2 различны, то они отличаются по крайней мере одной координатой, например y1<>y2. Умножая первое уравнение (2) на a1, второе на а и вычитая почленно, получим:

.

Это уравнение, как следствие уравнений (2), удовлетворяется при y=y1 и y=y2. Но это возможно, только если

 .

Отсюда следует:

.

А это значит, что уравнения (2) эквивалентны. Вторая часть утверждения доказана.